손실 전송선

참고

이 문서의 층위 — 심화 이론. 전송선과 반사의 무손실 근사를 손실이 있는 경우로 확장한다.

1. 전신 방정식

분포정수(distributed) 등가 회로에서 길이 방향 극한을 취하면 다음이 된다.

∂V/∂z = − R·I − L·∂I/∂t
∂I/∂z = − G·V − C·∂V/∂t

정현파 정상 상태로 두면 페이저 형태가 된다.

dV/dz = − ( R + jωL ) · I
dI/dz = − ( G + jωC ) · V

2. 전파 상수와 복소 특성 임피던스

γ = α + jβ = √( (R + jωL)(G + jωC) )
Z₀ = √( (R + jωL) / (G + jωC) )

기호	이름	뜻
α	감쇠 상수	단위 길이당 진폭이 줄어드는 비율
β	위상 상수	단위 길이당 위상이 도는 양
Z₀	특성 임피던스(characteristic impedance)	손실이 있으면 실수가 아니다

무손실 근사에서 α = 0, β = ω√(LC), Z₀ = √(L/C) 로 줄어든다.

주의

Z₀ 가 주파수에 따라 변한다는 사실이 저주파에서 특히 드러난다. R ≫ ωL 인 영역에서 Z₀ 는 크게 부풀고 위상도 갖는다. TDR 파형의 초반이 목표값과 다르게 보이는 원인 가운데 하나다.

3. 두 가지 손실

손실	원천	주파수 의존	어디로 가는가
도체 손실	R — 구리의 저항	표피 효과(skin effect)로 주파수의 제곱근에 비례해 커진다	구리에서 열로
유전체 손실	G — 손실 탄젠트(loss tangent)	주파수에 거의 비례해 커진다	유전체에서 열로

두 손실의 주파수 의존이 다르다. 낮은 주파수에서는 도체 손실이 지배하고 높은 주파수에서는 유전체 손실이 지배한다. 교차 지점은 재료와 단면이 정한다.

설계에 주는 뜻	내용
선폭을 넓히면	도체 손실이 줄지만 유전체 손실은 그대로다
저손실 재료를 쓰면	높은 주파수의 손실이 크게 준다
동박 조도를 낮추면	도체 손실이 준다 — 고주파일수록 효과가 크다

4. 표피 효과와 조도

δ = √( 2 / (ω μ σ) )        표피 깊이

주파수가 오르면 전류가 도체 표면 두께 δ 안으로 몰린다.

결과	내용
실효 단면적이 줄어든다	실효 저항이 주파수의 제곱근에 비례해 커진다
표면 형상이 중요해진다	조도가 전류 경로를 길게 만들어 손실을 더한다
근접 효과	이웃 도체의 자기장이 전류 분포를 더 치우치게 한다

조도의 영향은 표피 깊이가 거칠기와 비슷해질 때부터 급격해진다. 해석에서 조도 모델을 넣지 않으면 손실이 실제보다 작게 나온다 — 보드 시뮬레이션 기법 §4.

5. 분산

주파수마다 전파 속도가 다른 현상이 분산(dispersion) 이다.

원인	내용
유전율의 주파수 의존	재료의 εr 이 주파수에 따라 변한다
구조 분산	마이크로스트립(microstrip)은 주파수가 오르면 장이 유전체 쪽으로 더 몰려 유효 비유전율이 커진다
손실에 따른 위상 변화	Z₀ 와 β 가 함께 변한다

분산은 파형을 퍼뜨린다. 에지의 각 주파수 성분이 다른 속도로 도착하면 상승 시간(rise time)이 늘어나고 부호 간 간섭이 생긴다.

참고

인과성 있는 재료 모델이 필요한 이유가 여기에 있다. εr 과 tanδ 를 주파수에 무관한 상수로 두면 물리적으로 성립하지 않는 응답이 나오고, 시간 영역으로 되돌렸을 때 신호가 입력보다 먼저 도착하는 결과가 생긴다.

6. 손실이 설계 판단에 들어오는 자리

판단	손실이 정하는 것
최대 배선(routing) 길이	수신단에서 남는 진폭
등화 필요 여부	손실 기울기가 부호 간 간섭을 만드는가
재료 선정	대역 끝에서의 총 손실
층 선택	스트립라인은 손실이 크고 마이크로스트립은 작다
선폭	도체 손실과 임피던스(impedance)를 함께 만족해야 한다